Vincent Domurado - Option Traitement des Images
Mémoire de fin d'études
Image de synthèse du David de Michel-Ange ([LEVO-00])
La réflectance est la fonction qui permet de caractériser l'apparence visuelle d'une surface, par exemple son aspect plus ou moins mat, réfléchissant, métallique... Le but de ce mémoire est de présenter et de comparer les différentes approches (empirique, géométrique, physique) qui aboutissent à une modélisation de la réflectance de la surface d'objets réels. Nous étudions ensuite la manière dont on mesure et utilise dans la pratique les paramètres de ces modèles pour une surface donnée, notamment grâce aux techniques récentes basées sur les images ("image-based rendering").
I. Les différents types de réflexion
I.1. La réflexion spéculaire
I.2. La réflexion diffuse
I.3. La fonction de réflectance spectrale bidirectionnelle
II. Modèles de surface rugueuse
II.1. Modèle de distribution de la hauteur de la surface
II.2. Modèle de distribution de la pente de la surface
III.1. Le modèle de Lambert
III.2. Les modèles de Phong et de Blinn
III.3. Le modèle de Torrance et Sparrow
III.3.1. Description de la surface rugueuse
III.3.2. Expression de la réflectance
bidirectionnelle selon le modèle de Torrance et Sparrow
III.3.3. Le
modèle de Cook et Torrance
III.4. Le modèle de Beckmann et Spizzichino
III.4.1. Introduction des notations
III.4.2. Calcul de
la réflectance
III.4.3. Discussion des hypothèses et des résultats du modèle de Beckmann
et Spizzichino
III.5. Le modèle d'Oren et Nayar
III.5.1. Description de la surface
III.5.2. Calcul de la
luminance dans le cas d'une cavité en V unique
III.5.3. Calcul de
la réflectance pour une distribution gaussienne de la pente
III.5.4. Bilan
du modèle d'Oren et Nayar
III.6.1. Modèle
gaussien isotrope
III.6.2. Modèle
gaussien anisotrope
III.6.3.
Conclusion
III.7.1. Expression
générale de la
réflectance
III.7.2. Le coefficient
d'atténuation géométrique
III.7.3.
Résultats
III.8.1. Hypothèses et méthode
de construction du modèle
III.8.2. Expression de la
réflectance bidirectionnelle
III.8.3. Comportement
du modèle
III.9. Comparaison des modèles de réflectance
IV. Mesure et utilisation pratique de la réflectance
IV.1. Mesure directe de la réflectance
IV.1.1. Le gonioréflectomètre
classique
IV.1.2.
Le gonioréflectomètre de Ward
IV.1.3.
Techniques de compression
IV.2. Utilisation d'un modèle de réflectance
IV.2.1. Algorithme de Sato
IV.2.2.
Algorithme de Boivin et Gagalowicz
On s'est rendu compte dès l'Antiquité de l'intérêt qu'il pouvait y avoir à étudier la surface des objets et plus précisément leurs propriétés réfléchissantes : grâce à ses connaissances en la matière et à la construction de miroirs paraboliques, Archimède put repousser de 3 ans la prise de Syracuse par les Romains. Les progrès successifs de l'optique (lois de l'optique géométrique formulées simultanément par Snell et Descartes, équations de Maxwell pour l'optique physique) ont par la suite permis d'élargir le champ des recherches et de mieux caractériser les interactions entre la lumière et la surface des objets. Une grandeur physique a été choisi pour cela - la réflectance spectrale bidirectionnelle - et de nombreux modèles empiriques ou théoriques ont été établis (notamment pour la description de la Lune).
Depuis l'apparition de l'informatique, la course à la réflectance a été relancée par le désir légitime de créer des objets virtuels à l'apparence réaliste (applications en architecture par exemple) ou d'archiver les caractéristiques d'objets réels (musées virtuels, commerce électronique), pour les représenter dans des conditions d'éclairage et sous des angles de vue arbitraires. Une nouvelle contrainte, la simplicité de la formulation, est apparue conjointement afin que le choix ou la mesure des paramètres descriptifs soit aisée et que les calculs nécessaires au rendu des images de synthèse s'effectuent en un temps raisonnable.
Nous commencerons cet exposé par un rappel des propriétés générales de la réflexion sur les surfaces opaques en insistant sur l'apparence qu'elles confèrent à l'objet et sur la manière de les caractériser. Nous constaterons alors que cette apparence dépend fortement de la géométrie de la surface et présenterons les deux modèles statistiques de surface les plus couramment utilisés (distribution de la hauteur et de la pente). Forts de ces bases théoriques, nous introduirons les modèles de réflectance spectrale bidirectionnelle qui font référence en la matière et ceux qui nous semblent les plus aboutis à l'heure actuelle. Nous nous intéresserons enfin à la manière dont la réflectance bidirectionnelle est mesurée et utilisée dans la pratique, en particulier dans le cadre de la modélisation basée sur les images ("image-based modeling").
La lumière incidente sur la surface d'un objet donné peut subir différentes interactions avec celle-ci. Dans le cas d'une surface opaque, trois phénomènes entrent en concurrence pour donner à la matière l'apparence qu'on lui connaît : l'absorption, la réflexion - ou réflexion spéculaire - et la diffusion - encore appelée réflexion diffuse. La réflexion spéculaire se produit à la surface de l'objet. Il n'y a peu d'interaction de la lumière avec la matière de l'objet - et notamment ses pigments. La couleur de la lumière réfléchie est donc proche de la couleur de la lumière reçue. Au contraire, la diffusion a lieu plus en profondeur et la lumière émise est teintée de la couleur des pigments.I.1. La réflexion spéculaire
La réflexion spéculaire peut être étudiée à partir de deux approches différentes. La plus simple, issue de l'optique géométrique, part de l'hypothèse que la longueur d'onde de la lumière incidente est plus petite que les dimensions des irrégularités de la surface réfléchissante. Ceci permet de considérer des rayons lumineux qui ne sont déterminés que par la géométrie du milieu qu'ils traversent. Cependant, il s'avère parfois nécessaire de considérer la nature électromagnétique de la lumière afin de disposer de modèles plus proches de la réalité physique. On se place alors dans le cadre de l'optique physique qui prend en compte la longueur d'onde de la lumière incidente.
Dans le cas d'un miroir lisse parfait (encore appelé surface de Fresnel), c'est-à-dire d'un matériau qui n'est sujet qu'à la réflexion spéculaire, les lois de Snell - Descartes définissent le comportement de la lumière : elle est réfléchie dans une direction qui forme un angle à la normale à la surface égal à l'angle entre la direction incidente et la normale, ces trois directions étant coplanaires. La lumière ne peut être aperçue que dans cette direction de réflexion.
Dans le cas d'un matériau spéculaire réel, l'essentiel de la lumière est réfléchi dans la direction théorique définie par les lois de Snell - Descartes, mais une partie de celle-ci est également réfléchie à l'intérieur d'un cône centré sur cette direction. Plus l'angle entre la direction d'observation et la direction théorique augmente et plus la quantité de lumière observée diminue. Dans le cas d'une surface lisse, on observera un pic spéculaire ; dans le cas d'une surface rugueuse, ce sera un lobe (décroissance plus lente de l'intensité lumineuse en fonction de l'angle à l'axe du cône).
La couleur de la lumière réfléchie dépend du type de l'interaction entre la lumière et la surface : une surface va réfléchir plus ou moins certaines longueurs d'ondes, et donc teinter légèrement la lumière réfléchie de la couleur de la surface. Pour une surface en plastique, ce phénomène est généralement absent, alors que la lumière réfléchie par une surface métallique prend la couleur de celle-ci.
I.2. La réflexion diffuse
La réflexion diffuse s'applique à la majorité des objets de la vie courante. Ces objets, à l'apparence mate, émettent une luminance indépendante de la direction d'observation. Le modèle de Lambert caractérise ce type de réflexion.
I.3. La fonction de réflectance spectrale bidirectionnelle
Nous avons mis en évidence les deux phénomènes physiques déterminant l'apparence des objets que nous allons être amenés à considérer. Celle-ci dépend de deux facteurs indépendants : l'éclairement auquel est soumis l'objet et la nature même de cet objet. C'est la fonction de réflectance spectrale bidirectionnelle (en anglais : Bidirectionnal Reflectance Distribution Function : BRDF), initialement introduite dans [NICO-77], qui va nous permettre de caractériser la surface de l'objet. Elle est définie comme étant le rapport entre la luminance réfléchie par la surface et l'éclairement de celle-ci et vérifie la relation suivante :
où :
est la luminance spectrale réfléchie pour la longueur d'onde l et dépend de la direction de la lumière incidente
, de la direction d'observation
et de la normale à la surface
.
est l'intensité de la source.
est la fonction de réflectance spectrale bidirectionnelle.
l est la distance entre la surface et la source.
On remarquera deux des propriétés importantes de la réflectance : elle obéit au principe de réciprocité de Helmholtz (ou principe du retour inverse de la lumière) et est donc symétrique en
La manière dont une surface réfléchit la lumière dépend notamment de ses caractéristiques microscopiques. Une surface lisse va réfléchir la lumière dans une direction bien déterminée grâce aux lois de Snell - Descartes, tandis qu'une surface rugueuse va la disperser dans plusieurs directions. Pour déterminer ces directions et obtenir une modélisation précise de la réflectance spectrale bidirectionnelle, deux solutions se présentent. La première consiste à déterminer le relief exact de la surface, ce qui requiert une précision de mesure généralement impossible à atteindre dans la pratique. La seconde consiste à modéliser les irrégularités de la surface par un processus aléatoire. Nous allons présenter dans cette partie les deux modèles les plus couramment utilisés dans ce contexte.
II.1. Modèle de distribution de la hauteur de la surface
La variable aléatoire considérée par ce modèle est la hauteur h des points de la surface par rapport au niveau moyen. Ainsi, dans le cas d'une distribution gaussienne centrée d'écart-type s (on parle aussi de rugosité de la surface), on a :
Cependant, cette description n'est pas suffisante pour déterminer le relief de la surface : la distance entre les bosses et les creux de la surface n'est paramétrée d'aucune manière. Ainsi, les deux profils de surface suivant obéissent à la même loi de distribution de la hauteur :
Voilà pourquoi il faut également introduire l'auto-corrélation C(t) entre les valeurs prises par la hauteur des points de la surface séparés d'une distance égale à t. Beckmann et Spizzichino ([BECK-63]) choisissent par exemple de prendre une corrélation de la forme suivante :
où T est la distance de corrélation.
II.2. Modèle de distribution de la pente de la surface
Ce modèle mathématique considère que la surface rugueuse (de normale
). Il s'appuie sur une distribution aléatoire de la pente des micro-facettes, i.e. l'orientation du vecteur
Par exemple, une distribution de la pente gaussienne centrée et d'écart-type s sera de la forme suivante :
Ce modèle présente l'avantage par rapport au précédent de ne dépendre que d'un seul paramètre s (plus cette valeur est grande et plus la surface est rugueuse) au lieu de deux. Ce modèle est donc plus simple. Le prix à payer réside dans sa plus grande faiblesse : en effet, étant donné une fonction de distribution de la pente f(a), i.e. une valeur de s dans le cas particulier d'une distribution gaussienne, il est difficile de visualiser l'aspect de la surface étudiée. Ce modèle est toutefois généralement préféré au modèle de distribution de la hauteur, car la réflexion des rayons lumineux sur la surface réfléchissante dépend directement de la pente de chacun des éléments de surface et pas de la hauteur des points.
Nous disposons désormais de grandeurs à même de caractériser la surface des objets que nous souhaitons étudier. Nous allons dorénavant chercher des modèles d'éclairement explicitant la réflectance bidirectionnelle des surfaces d'objets réels. Trois approches sont possibles. La première, l'approche empirique, ne tient pas compte des modèles de surface et cherche à fournir un modèle d'éclairement aussi simple que possible, totalement déconnecté de toute modélisation des phénomènes entrant en jeu, mais qui corresponde bien aux données expérimentales. Les deux autres, l'approche géométrique et l'approche physique, s'appuient toutes deux sur l'étude théorique de la réflexion pour calculer la réflectance bidirectionnelle. L'approche géométrique se place dans le contexte de l'optique géométrique qui suppose que la dimension des irrégularités de la surface est grande par rapport à la longueur d'onde de la lumière incidente. Cette hypothèse est souvent compatible avec les modèles de surfaces rugueuses, mais n'est pas valide pour les surfaces lisses. Dans ce cas, on doit adopter l'approche physique, c'est-à-dire revenir à la théorie des ondes électromagnétiques pour construire un modèle de réflectance pertinent. Celui-ci sera généralement plus complexe, mais sera à même de représenter aussi bien une surface lisse qu'une surface rugueuse.
Nous allons tout d'abord décrire les principaux modèles historiques qui servent encore à l'heure actuelle de références pour toutes les recherches sur le rendu de la surface d'objets réels : le modèle de Lambert, celui de Phong, celui de Torrance et Sparrow et enfin celui de Beckmann et Spizzichino. Puis nous verrons quelles améliorations leur ont été apportées par la suite, par Oren et Nayar, Ward, Ashikhmin et He.
III.1. Le modèle de Lambert
Le modèle d'éclairement de Lambert ([LAMB-1760]) est de loin le plus vieux modèle d'éclairement connu et reste à ce jour le plus couramment utilisé. Ce modèle s'applique aux diffuseurs parfaits qui émettent une luminance constante dans toutes les directions. La lumière incidente pénètre à l'intérieur du matériau et est absorbée, réfléchie et réfractée par les pigments qui s'y trouvent. Une partie seulement arrive à ressortir dans toutes les directions. La surface lambertienne correspond au cas particulier où la luminance est indépendante de la direction d'observation. Sa réflectance bidirectionnelle est alors de la forme :
est la réflectance de la surface, égale au rapport entre le flux réfléchi et le flux incident.
Ce modèle donne des résultats très satisfaisants, surtout si l'on prend en considération sa simplicité. Ces deux facteurs sont à l'origine de son adoption très courante par les traiteurs d'images. Dans la pratique, il est souvent associé à l'un des modèles de réflexion spéculaire suivants.
III.2. Les modèles de Phong et de Blinn
Les deux premiers modèles empiriques de réflexion spéculaire non parfaite pour une surface lisse ont été ceux proposés par Phong ([PHON-75]) et par Blinn ([BLIN-77]). Étant donné une surface lisse de normale
comme étant celle du vecteur d'observation qui permet aux vecteurs
On observe un maximum de luminance (ou pic spéculaire) quand le vecteur d'observation
(le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs). Cependant, cette décroissance peut être plus ou moins rapide en fonction de la nature du matériau. Pour prendre en compte ce phénomène physique, on élève le cosinus à une puissance m appelée coefficient de brillance. Plus ce coefficient est grand et plus la décroissance est rapide. On obtient alors l'expression de Phong pour la réflectance spectrale bidirectionnelle :
où :
est la réflectance spéculaire de la surface en fonction de l'angle d'incidence. On constate en effet que la lumière réfléchie prend la couleur du matériau pour une incidence normale (
= 0°) et garde la couleur de la lumière de la source pour une incidence rasante (
m est le coefficient de brillance. La valeur de m varie généralement entre 1 (surface peu spéculaire) et 50 (surface très spéculaire).
Blinn a amélioré le modèle de Phong pour accélérer le calcul. Pour ce faire, il considère le vecteur
, tel que les vecteurs
Ceci correspond au modèle d'éclairement décrit par Blinn :
Dans la pratique, on utilise souvent l'idée de Marsh ([MARS-87]) : on réalise une décomposition linéaire du coefficient
où :
est la proportion de réflexion spéculaire
- a est le pourcentage de réflexion "métallique"
est un lobe centré sur la couleur de la surface
III.3. Le modèle de Torrance et Sparrow
Ce modèle ([TORR-67]) s'intéresse à la nature physique de la surface pour formuler une nouvelle expression de la réflectance. Il s'appuie sur l'optique géométrique pour décrire la réflexion spéculaire sur une surface rugueuse (l'utilisation de l'optique géométrique impose que la dimension des irrégularités de la surface est grande devant la longueur d'onde, ce qui interdit l'examen des surfaces lisses). Ces surfaces, contrairement aux surfaces lisses, ne présentent pas un pic spéculaire bien marqué, mais plutôt un lobe spéculaire plus doux.
La mise en pratique de ce modèle a montré sa cohérence vis-à-vis des données expérimentales. Il présente également l'avantage non négligeable de la simplicité, aussi bien en terme de difficulté d'implémentation que de temps de calcul, ce qui lui a valu une grande popularité auprès de la communauté scientifique et industrielle.
III.3.1. Description de la surface rugueuse
La surface considérée est modélisée par un ensemble de micro-facettes planes parfaitement réfléchissantes (réflexion spéculaire parfaite) de même aire da, dont les arêtes supérieures sont toutes coplanaires et dont la taille est supérieure à la longueur d'onde, ce qui permet de se placer dans le contexte de l'optique géométrique. Ces facettes sont réparties selon un modèle de distribution de pente gaussienne et sont placées aléatoirement sur les côtés de cavités en V symétriques, pour simplifier l'étude du masquage et de l'ombrage des facettes les unes par les autres. On parle de masquage d'une facette quand celle-ci n'est pas visible dans la direction d'observation
, mais il est possible d'en choisir d'autres : Trowbridge et Reitz ([TROW-75]) ont proposé de prendre
et Cook et Torrance ([COOK-82]) ont suggéré l'utilisation de la fonction de Beckmann et Spizzichino
(où m décrit la rugosité de la surface).
III.3.2. Expression de la réflectance bidirectionnelle selon le modèle de Torrance et Sparrow
La modélisation de la surface proposée par Torrance et Sparrow permet de calculer le nombre de facettes qui ont une pente telle qu'elles devraient réfléchir la lumière dans la direction d'observation. Ce nombre est réduit du fait du masquage et de l'ombrage par un facteur d'atténuation géométrique : certaines portions des facettes ne sont pas illuminées ou vues dans la direction d'observation (car occultées par d'autres facettes). On peut ensuite calculer l'énergie lumineuse qu'elles reçoivent de la source lumineuse. Un petite partie de cette énergie est effectivement réfléchie, le reste étant soit absorbé, soit diffusé. Cette proportion est obtenue grâce à la fonction de Fresnel. Ceci permet d'aboutir à une réflexion spéculaire en forme de lobe :
où :
est la fonction de Fresnel et représente la fraction d'énergie réfléchie par la surface. Elle dépend de l'angle d'incidence de la lumière
avec :
est la distribution des facettes de la surface de rugosité m. Torrance et Sparrow ont adopté une distribution gaussienne :
On a choisi ici de remplacer la notation m par s car il s'agit de l'écart-type de la pente des facettes.
est le facteur d'atténuation géométrique traduisant les phénomènes d'ombrage et de masquage d'une facette par une autre, avec :
Pour aboutir à un modèle d'éclairement plus général, il suffit d'ajouter à la réflectance spéculaire ainsi calculée la réflectance diffuse issue du modèle de Lambert :
III.3.3. Le modèle de Cook et Torrance
Ces deux auteurs ont repris le modèle développé par Torrance et Sparrow et lui ont apporté quelques améliorations pour que les images générées par ce modèle ressemblent plus à la réalité. On constate en effet quelques erreurs dans le modèle générique de Torrance et Sparrow.
La fonction de distribution des facettes gaussienne ne répond pas à la condition de conservation de l'énergie. Cook et Torrance l'ont donc remplacée par la fonction introduite par Beckmann et Spizzichino ([BECK-63]) :
a est comme précédemment l'angle polaire de la normale à la facette considérée par rapport à la normale à la surface. m est la rugosité de la surface. La valeur de m peut varier de 0 à l'infini, mais dans la pratique, elle dépasse rarement 0,5. Cette nouvelle distribution conserve l'avantage de la précédente (elle ne dépend que d'un seul paramètre m qui peut être mesuré expérimentalement) tout en assurant une cohérence physique au modèle, et ce quelle que soit la valeur prise par m. Qui plus est, elle est mieux adaptée à la forme des résultats expérimentaux.
Le facteur d'atténuation géométrique nécessite lui aussi quelques retouches. Il a été calculé grâce à des approximations grossières sur la forme de la surface et ne correspond pas très bien à la réalité : sa dérivée n'est pas continue, il n'est pas invariant par rotation autour de la normale et il est totalement indépendant de la rugosité de la surface. Cook et Torrance n'y ont cependant pas touché, et il a fallu attendre He ([HE-91]) pour en avoir une expression plus aboutie.
Enfin, Cook et Torrance ont amélioré le rendu des surfaces métalliques en faisant apparaître que coefficient de Fresnel dépend de la longueur d'onde (par souci de cohérence avec les parties suivantes qui font souvent référence au modèle de Torrance et Sparrow en tenant compte de cette modification, nous l'avons déjà intégrée dans la partie précédente). Jusqu'alors, les surfaces donnaient toujours une impression de plastique. En effet, les reflets étaient toujours de la même couleur que celle de la lumière incidente (ce qui est tout à fait réaliste pour les surfaces diélectriques), alors que les surfaces conductrices ont tendance à teinter les reflets de leur couleur propre, à condition que l'angle d'incidence ne soit pas trop grand (inférieur à 70°), auquel cas le coefficient de Fresnel vaut 1 pour toutes les longueurs d'onde et la lumière réfléchie a la même couleur que la lumière émise par la source.
III.4. Le modèle de Beckmann et Spizzichino
Ce modèle ([BECK-63]) est construit grâce aux lois de l'optique physique : il décrit la réflexion d'ondes électromagnétiques planes aussi bien sur les surfaces lisses que sur les surfaces rugueuses. Celles-ci sont représentées grâce à un modèle de distribution de la hauteur gaussien.
III.4.1. Introduction des notations
Considérons une surface réfléchissante placée dans un repère cartésien
tel que le niveau moyen de la surface coïncide avec le plan z = 0. Un point Q de la surface sera repéré par le vecteur
, où h(x,y) est sa hauteur. Le champ électrique incident (indice 1) y a pour valeur :
avec :
: l'amplitude du champ électrique incident
: son vecteur d'onde, que l'on supposera sans perte de généralité confiné dans le plan (x,z)
- w : la fréquence d'oscillation
: la direction du champ électrique
L'angle d'incidence polaire formé par les vecteurs
est noté
. Dans le cas où le point d'observation n'est pas dans le plan d'incidence, on considère également son azimut, i.e. l'angle formé par les plans (x,z) et (z,
) :
.
III.4.2. Calcul de la réflectance
L'arrivée du champ incident au point Q génère des courants de surface qui à leur tour engendrent un nouveau champ électromagnétique dont la combinaison avec le champ incident forme le champ électromagnétique
à la surface de l'objet. Ce champ vérifie l'équation d'onde :
. Sa solution, l'intégrale de Helmholtz, permet, grâce aux conditions aux limites, de déterminer le champ réfléchi
en tout point P de l'espace. Pour ce faire, il faut se placer dans le cadre de l'hypothèse de Kirchhoff (la surface est localement lisse), qui donne la valeur du champ de surface en fonction du champ incident :
où F est le coefficient de réflexion de Fresnel et détermine la fraction du champ incident qui est réfléchie par une surface lisse (C'est le module au carré de ce coefficient qui donne la fonction de Fresnel énergétique utilisée par Torrance et Sparrow). Il dépend de l'angle d'incidence local (par rapport à la normale
L'utilisation d'un modèle de distribution gaussienne de la hauteur avec les valeurs prises à titre d'exemple dans la partie II.1. (rugosité de la surface s et distance de corrélation T) permet alors de calculer l'intégrale de Helmholtz sur un élément de surface A de dimensions 2X et 2Y et d'en déduire les propriétés statistiques du champ réfléchi
où :
caractérise la rugosité de la surface. En effet, ce facteur est essentiellement une fonction de la rugosité optique de la surface définie par le rapport
. La surface sera lisse quand g est très petit et très rugueuse quand g est grand.
avec
et
III.4.3. Discussion des hypothèses et des résultats du modèle de Beckmann et Spizzichino
On constate que la réflectance proposée par Beckmann et Spizzichino est formée de la somme de deux termes :
- Le premier, de la forme
, décroît très rapidement lorsque l'on s'éloigne de la direction spéculaire. Il correspond au pic spéculaire prédominant pour une surface lisse.
- Le second est le lobe spéculaire. Il est nul dans le cas d'une surface lisse (g = 0) et est dominant dans le cas d'une surface rugueuse. Il est lui aussi centré autour de la direction spéculaire.
Certaines hypothèses ont été faites pour simplifier cet exemple, mais ne sont pas des limitations en soit :
- L'hypothèse d'une distribution gaussienne de la hauteur peut être complexifiée sans problème majeur. Ainsi, Beckmann et Spizzichino ont créé des modèles de réflectance pour d'autres distribution de la hauteur, y compris des distributions périodiques.
- Nous avons supposé que la surface est un conducteur parfait afin de simplifier le calcul du coefficient de Fresnel. En effet, dans le cas contraire, sa valeur varie sur la surface en fonction de l'angle d'incidence local de l'onde électromagnétique sur la surface. On peut s'affranchir cette hypothèse et approcher le champ réel en utilisant la valeur moyenne du coefficient de Fresnel sur toute la surface considérée. La réflectance bidirectionnelle vaut alors :
- Pour faire les calculs, nous avons choisi une polarisation perpendiculaire de l'onde électromagnétique incidente. C'est aussi simple si l'on prend un polarisation parallèle. Beckmann et Spizzichino ont également proposé des approches possibles pour se placer dans un cadre plus général.
- Le choix d'onde planes pour la résolution de ce problème est parfaitement adapté au cas où la source est suffisamment éloignée de la surface réfléchissante. Si ce n'est pas le cas, il faut choisir des ondes sphériques.
- Il n'a pas été tenu compte des effets de masquage et d'ombrage de points de la surface les uns par les autres. Ceci peut être corrigé en multipliant la fonction de distribution de la hauteur h(x,y) par une fonction S(x,y).
Par contre, certaines hypothèses ne peuvent être abandonnées :
- L'hypothèse de Kirchhoff qui impose que le rayon de courbure des irrégularités de la surface soit grand par rapport à la longueur d'onde de la lumière incidente (surfaces localement lisses) est nécessaire pour le calcul de l'intégrale de Helmholtz. Elle n'est pas valable dans le cas des points anguleux (effet de pointe).
- Nous n'avons pas pris en considération la possibilité que l'onde électromagnétique subisse des réflexions multiples avant d'être renvoyée vers l'observateur.
S'il permet un rendu très réaliste des surfaces qu'il représente - lisses et rugueuses -, le modèle de Beckmann et Spizzichino présente néanmoins l'inconvénient d'être un peu trop complexe, ce qui explique qu'il soit peu utilisé dans la pratique. Sillion et al. s'en sont inspirés pour créer un nouveau modèle d'éclairement ([SILL-91]).
III.5. Le modèle d'Oren et Nayar
Oren et Nayar ([OREN-94]) proposent une nouvelles approche des surfaces qui ne sont ni lambertiennes ni réfléchissantes, par exemple l'argile, le sable ou certains plastiques et tissus. Ils considèrent que ces surfaces rugueuses sont constituées d'un ensemble de petits éléments diffusants qui suivent la loi de Lambert. Ils sont distribués selon le modèle de distribution de pente adopté par Torrance et Sparrow. Leur modèle s'applique aussi bien aux surfaces isotropes que non isotropes et prend en compte les phénomènes d'ombrage, de masquage et de réflexions multiples.
III.5.1. Description de la surface
On se place dans un repère cartésien
(respectivement
).
La surface est composée de longues cavités symétriques en forme de V. Les deux facettes planes qui forment cette cavité sont beaucoup plus longues que larges et ont des dimensions grandes par rapport à la longueur d'onde incidente, ce qui permet de se placer dans le cadre de l'optique géométrique. Les bords supérieurs de toutes les facettes sont coplanaires.
On suppose également que la surface da de toute facette est petite devant la surface dA vue par un seul pixel du capteur : chaque pixel contient un nombre important de facettes diffusantes. On a donc les ordres de grandeur suivants : l² << da << dA
La pente et l'orientation de chaque facette sont repérées grâce au couple
. Comme Torrance et Sparrow, Oren et Nayar choisissent une distribution normale de la pente
, mais tiennent en plus compte de la fraction de la surface dA qui est occupée par les facettes ayant une orientation donnée :
Dans le cas d'une surface isotrope, la grandeur précédente ne dépend plus que de l'angle polaire
.
III.5.2. Calcul de la luminance dans le cas d'une cavité en V unique
Nous allons tout d'abord effectuer le calcul de la réflectance pour une cavité en V unique avant de considérer le modèle de surface général. On dispose donc de deux facettes en vis-à-vis, de pente
où Eo est l'éclairement de la surface quand l'incidence de la lumière est normale :
. Cette formule indique que la luminance projetée d'un élément de surface lambertien varie en fonction de la position d'observation
Il faut également tenir compte des effets de masquage et d'ombrage. Pour cela, il suffit de calculer le facteur d'atténuation géométrique qui indique le pourcentage de la luminance projetée qui survit aux phénomènes de masquage et d'ombrage. Cette valeur comprise entre 0 et 1 est égale au rapport de l'aire de la facette qui est à la fois éclairée par la source et vue par le capteur sur l'aire totale de la facette. Son expression est :
La luminance projetée atténuée par l'ombrage et le masquage vaut alors :
L'indice 1 indique que cette valeur ne tient pour l'instant compte que de la luminance projetée directe. Dans la suite, l'indice 2 sera utilisé pour la luminance provenant des réflexions multiples. Ce phénomène ne peut en effet pas être ignoré dans le cas où le coefficient d'absorption de la surface est faible. Qui plus est, si la source illumine la cavité avec un très grand angle d'incidence
Comme l'absorption lumineuse est un phénomène multiplicatif, l'intensité lumineuse est réduite au néant après seulement quelques réflexions. Oren et Nayar ont donc choisi de se limiter à deux réflexions au maximum. La simulation a prouvé ultérieurement la justesse de cette hypothèse. La facette considérée, de normale
qui la renvoie à son tour dans la direction du capteur.
La luminance projetée due aux réflexions multiples est égale à :
où :
- FRM est le facteur de réflexions multiples :
est la largeur de la facette qui est éclairée par la source
est la largeur de la facette qui est vue dans la direction d'observation
- w est la largeur de la facette
La luminance projetée totale émise par la cavité telle qu'elle est vue par le capteur est égale à la somme des luminances projetées directe et due aux réflexions multiples :
III.5.3. Calcul de la réflectance pour une distribution gaussienne de la pente
Considérons maintenant une surface plus générale constituée de facettes diffusantes dont l'orientation
Il reste alors à diviser la valeur obtenue par
pour avoir l'expression de la réflectance bidirectionnelle. Cependant, le calcul de cette intégrale double ne s'avère pas aisé. Les auteurs en ont donc trouvé une approximation. La composante correspondant à une illumination directe a été remplacée par la fonction suivante :
où :
La composante de la réflectance bidirectionnelle correspondant uniquement aux réflexions multiples sur les cavités de la surface est quant à elle approchée grâce à l'expression :
On a finalement la réflectance du modèle d'Oren et Nayar en faisant la somme des deux composantes précédentes :
III.5.4. Bilan du modèle d'Oren et Nayar
Le modèle d'Oren et Nayar décrit les surfaces diffusantes aussi bien lisses que rugueuses. Il est simple à utiliser, puisqu'il ne dépend que d'un seul paramètre, s, la rugosité de la surface. Pour une surface lisse (s=0), on retrouve le modèle de Lambert. Par contre, pour une surface rugueuse, la réflectance n'est pas uniforme, mais augmente quand la direction d'observation se rapproche de la direction de la source lumineuse, ce qui est conforme à la réalité. Lorsque l'angle d'incidence est faible la réflectance se rapproche des valeurs prédites par le modèle de Lambert. Quand il est important, les différences sont très marquées, notamment en raison des réflexions multiples.
Dans le cas où la surface est trop rugueuse pour que le choix d'une distribution gaussienne soit encore valable, les auteurs proposent d'augmenter par un facteur multiplicatif l'influence de la composante de la réflectance bidirectionnelle due aux réflexions multiples.
III.6. Le modèle de Ward
Le modèle de Ward ([WARD-92]) propose une nouvelle approche empirique de la réflectance spéculaire. Il part du constat que le modèle gaussien donne de bons résultats pour représenter les surfaces (ce modèle de distribution est utilisé aussi bien par Torrance et Sparrow que par Beckmann et Spizzichino). Il choisit alors pour sa fonction de réflectance bidirectionnelle une gaussienne qu'il prend garde de normaliser soigneusement pour éviter les défauts que l'on observe chez Phong : il est possible que la surface émette plus de lumière qu'elle n'en reçoit ! Cette normalisation présente également l'avantage d'éviter le calcul des coefficients de Fresnel, d'ombrage et de masquage.
Ce modèle tient compte du phénomène de diffusion en ajoutant un terme lambertien à l'expression de la réflectance. Il permet de représenter des surfaces isotropes et anisotropes.
III.6.1. Modèle gaussien isotrope
Dans le cas d'une surface isotrope, il formule la réflectance bidirectionnelle de la manière suivante :
où les quatre paramètres caractéristiques sont :
est la réflectance diffuse
est la réflectance spéculaire
- a est l'angle entre les vecteurs
- s est la rugosité de la surface. Ce modèle est valide pour un rugosité inférieure à 0,2.
Les réflectances diffuse et spéculaire peuvent également varier en fonction des angles d'incidence et d'observation pour refléter le coefficient de Fresnel, à condition bien sûr que la contrainte énergétique
soit toujours vérifiée.
III.6.2. Modèle gaussien anisotrope
Ward considère les surfaces anisotropes qui peuvent être analysées selon deux directions x et y décorrélées. Il propose alors le modèle elliptique suivant :
où :
est la rugosité de la surface dans la direction x
est la rugosité de la surface dans la direction y
- f est l'azimut du vecteur
Pour permettre une implémentation plus rapide, Ward suggère l'approximation suivante :
où :
III.6.3. Conclusion
Le modèle de Ward est très apprécié en synthèse d'images, en raison de sa simplicité de mise en œuvre, aussi bien pour le réglage des paramètres qui sont très intuitifs, que pour le temps de calcul. Il permet de plus de représenter des surfaces isotropes et anisotropes.
Voici un exemple d'image de synthèse développée à partir du modèle de Ward. Le bois vernis de la table, les chandeliers et la boîte en argent présentent des caractéristiques anisotropes. La scène est éclairée par quatre sources lumineuses : les deux bougies, une lampe en haut à droite et la lune à travers la fenêtre.
Image tirée de [WARD-92]
III.7. Le modèle d'Ashikhmin
Ashikhmin ([ASHI-00]) part du constat que l'utilisation d'un modèle de réflectance basé sur une description de la surface constituée d'un ensemble de facettes présente plusieurs avantages : elle permet une étude optique géométrique qui est un bon compromis entre les modèles empiriques et ceux décrits par l'optique physique pour la description des surfaces rugueuses ; elle utilise une distribution de la pente de la surface, qui ne nécessite qu'un seul paramètre, contrairement à une distribution de la hauteur de la surface. Il remarque également que les principaux modèles (Torrance et Sparrow, Oren et Nayar) qui utilisent ce type de description fournissent de bons résultats, mais se limitent à une distribution gaussienne de la pente pour des cavités en V, ce choix étant essentiellement motivé par la difficulté à évaluer le coefficient d'atténuation géométrique qui traduit les phénomènes de masquage et d'ombrage des facettes les unes par les autres. Ils ne sont donc pas à même de représenter les surfaces comme celle qui est représentée ci-dessous :
Boule éclairée par une petite source lumineuse distante ([ASHI-00]).
Le reflet reste inchangé par rotation de la boule autour de son axe Nord-Sud.Ashikhmin fait quant à lui l'hypothèse que le choix de la distribution est plus important qu'un calcul exact du coefficient de masquage. Il choisit donc de développer un nouveau coefficient d'atténuation géométrique simple qui puisse s'adapter à une grande classe de distributions isotropes de la pente et qui conserve l'énergie. En raison de la latitude laissée pour le choix de la distribution de pentes, le cas des réflexions multiples n'a pas été pris en considération.
III.7.1. Expression générale de la réflectance
Le calcul de la réflectance se fait de la même manière que dans le cadre du modèle de Torrance et Sparrow (dont nous reprenons les notations), si ce n'est qu'il est légèrement plus général étant donné qu'aucune hypothèse n'est faite quant au type de distribution de la pente adopté :
où :
- F est le coefficient de Fresnel qui donne le pourcentage de la lumière reçue par une facette qui est réfléchi.
- D est la distribution de pente (a) choisie.
- G est le coefficient d'atténuation géométrique dont le calcul va être détaillé dans la partie suivante.
est la probabilité qu'une facette orientée suivant
- <.> symbolise la moyenne. On a donc :
III.7.2. Le coefficient d'atténuation géométrique
Nous allons présenter ici une manière simple d'évaluer le coefficient d'atténuation géométrique qui convient à de nombreuses distributions de la pente de la surface. Il peut se réécrire de la manière suivante :
où :
est la probabilité que les facettes de direction
est la probabilité que les facettes de direction
Si l'on souhaite observer des surfaces pour lesquelles cette corrélation est importante, ils proposent l'approximation suivante :
où :
- f est la différence des azimuts des directions d'incidence et d'observation
- t(f) est un facteur de corrélation dont les valeurs varient entre 0 (t(p) et t(-p)) et 1 (t(0)) et qui est une fonction strictement décroissante en fonction de la valeur absolue de f. Ashikhmin et al. ont choisi une gaussienne de largeur 15°.
Ce choix a été fait en raison de sa simplicité et parce qu'il permet une conservation de l'énergie, quelle que soit la fonction t(f) choisie.
Il ne reste donc plus qu'à calculer la probabilité
. Pour ce faire, une hypothèse importante est faite : on considère que la probabilité pour que la facette soit visible dans la direction
est indépendante de l'orientation
On peut alors régler le cas où la facette tourne le dos à la direction
Après quelques calculs, Ashikhmin et al. aboutissent au résultat suivant :
où :
est la demi-sphère telle que le produit scalaire entre les vecteurs
III.7.3. Résultats
Le calcul du nouveau coefficient d'atténuation géométrique présenté dans la partie précédente peut désormais être inséré dans l'expression générale de la réflectance bidirectionnelle, ce qui donne dans le cas où l'on considère que l'ombrage et le masquage sont décorrélés (
) et que la surface correspond à une distribution de la hauteur (
Ce modèle présenté par Ashikhmin et al. permet d'étendre le modèle de la pente à un grand nombre de surfaces rugueuses différentes, contrairement aux modèles de Torrance et Sparrow et de Oren et Nayar qui ne considéraient que des distributions gaussiennes. Cela présente un grand intérêt pour les surfaces dont la distribution de la pente joue un rôle majeur dans leur apparence. Ashikhmin et al. ont ainsi utilisé leur modèle pour représenter des surfaces gaussiennes, rayées, du satin et du velours.
Nous avons présenté ce modèle dans le cadre assez simple d'une surface isotrope constituée de facettes réfléchissantes (surfaces de Fresnel). Il s'étend sans problème aux surfaces anisotropes (on pourra par exemple choisir une distribution gaussienne elliptique comme Ward), ainsi qu'aux facettes ayant des propriétés diffusantes. Si la prise en compte de réflectances particulières pour les facettes complique singulièrement l'expression de la réflectance fournie, il est par contre possible d'adopter l'approche d'Oren et Nayar et de considérer que les facettes sont des surfaces lambertiennes.
III.8. Le modèle de He
He ([HE-91]) a construit un modèle de réflectance bidirectionnelle basé sur l'optique physique. Il a repris les idées des deux grands précurseurs de cette approche : Beckmann et Spizzichino d'une part, Stogryn ([STOG-67]) d'autre part. Cela lui permet d'inclure presque tous les phénomènes physiques impliqués dans la réflexion et la diffusion de la lumière (polarisation, diffraction, interférences, masquage, ombrage) et donc de décrire de nombreux matériaux (surfaces lisses et rugueuses). Le modèle de surface isotrope adopté est une distribution de la hauteur gaussienne, qui nécessite deux paramètres de description : la rugosité de la surface s et la distance de corrélation T. Les deux autres paramètres du modèle sont l'indice de réfraction de la surface n (qui dépend de la longueur d'onde) et le coefficient de diffusion lambertien
III.8.1. Hypothèses et méthode de construction du modèle
La méthode suivie par He et al. est celle décrite par Beckmann et Spizzichino (même approximation de la surface par des plans tangents, ce qui impose que le rayon de courbure local de la surface est grand par rapport à la longueur d'onde), à laquelle ils ont apporté les améliorations suivantes :
- Ils utilisent la forme vectorielle de la théorie de la diffraction de Kirchhoff au lieu de la forme scalaire, ce qui permet de tenir compte de la polarisation de l'onde électromagnétique incidente : celle-ci peut-être plane (cas considéré par Beckmann et Spizzichino), sphérique, partiellement polarisée ou pas polarisée du tout. Les effets de dépolarisation de la lumière ou de polarisation croisée sont donc visualisables.
- L'intégrale de Kirchhoff est moyennée selon le procédé décrit par Stogryn ([STOG-67]), ce qui donne un meilleur rendu des effets dus à la hauteur et à la pente de la surface.
- Une rugosité effective est introduite pour traduire la rugosité apparente de la surface, et qui dépend des angles d'incidence et d'observation. Par exemple, pour des directions rasantes, la rugosité apparente est bien plus faible que la rugosité réelle. Cela peut par exemple se traduire par une réflexion spéculaire sur une surface rugueuse.
- Un meilleur facteur d'atténuation géométrique pour traduire les phénomènes de masquage et d'ombrage est utilisé : He et al. ont remplacé le coefficient d'atténuation géométrique proposé par Torrance et Sparrow par celui de Smith ([SMIT-67]). Ce dernier évite tous les défauts de celui de Torrance et Sparrow - il est notamment infiniment dérivable - (pour plus de détails, se reporter à la discussion du modèle de Cook et Sparrow) et est en plus séparable selon
avec :
et
En plus de l'hypothèse de Kirchhoff décrite plus haut, ce modèle impose que les pentes de la surface soient douces, c'est-à-dire que le rapport s sur T soit petit devant 1.
III.8.2. Expression de la réflectance bidirectionnelle
L'expression finale de la réflectance bidirectionnelle construite par He se décompose en trois termes : spéculaire (s), diffus directionnel (dd) et diffus uniforme (du):
On retrouve à peu de choses près la classification proposée par Nayar ([NAYA-91]) en pic spéculaire, lobe spéculaire et diffusion, qui lui permettait de faire la fusion des modèles de Beckmann et Spizzichino et de Torrance et Sparrow. La composante spéculaire de He provient de la réflexion unique de la lumière sur le niveau moyen de la surface. Dans le cas d'une surface lisse, cette composante prédomine les autres et on observe effectivement un pic spéculaire. La composante diffuse directionnelle est due à la réflexion unique de la lumière sur la rugosité de la surface (phénomène de diffraction). La troisième composante est attribuée au réflexions multiples et aux interactions de la lumière avec la matière de la surface. He a tout simplement repris la réflectance bidirectionnelle de Lambert pour ce terme diffus uniforme.
Distribution de l'intensité lumineuse selon la classification de He
Dans le cas particulier où la lumière incidente n'est pas polarisée (éclairage naturel), les trois composantes de la réflectance bidirectionnelle de He et al. valent :
où :
- F est le coefficient de Fresnel énergétique dont l'expression est donnée avec le modèle de Torrance et Sparrow.
caractérise la rugosité de la surface. Ici, on utilise la rugosité effective :
où z est la racine de l'équation suivante :
, dans laquelle :
- G est le facteur d'atténuation géométrique de Smith dont l'expression est donnée plus haut.
- D est une fonction de Kronecker, qui vaut 1 à l'intérieur du cône de réflexion spéculaire et 0 à l'extérieur.
est une distribution que l'on trouvait déjà dans le modèle de Beckmann et Spizzichino
et
et
et
Les lecteurs intéressés par la formulation complète de la réflectance bidirectionnelle pour une lumière polarisée pourront se reporter à l'article de He et al. ([HE-91]).
III.8.3. Comportement du modèle
Le terme spéculaire de la réflectance de He et al. l'emporte sur le terme diffus directionnel pour les surfaces lisses, c'est à dire quand
. Quand la rugosité augmente (
), la diffraction et les interférences commencent à produire leurs effets et le terme diffus directionnel devient dominant. Le terme diffus uniforme est considéré par le modèle de He comme un paramètre, qui doit tout de même obéir à la contrainte de conservation de l'énergie. Il peut être calculé analytiquement dans quelques cas particuliers, par exemple pour une surface constitué de cavités en V comme dans le modèle de Torrance et Sparrow, ou si l'on connaît les équations de diffusion de la lumière à l'intérieur de la matière (un modèle a été proposé par Hanrahan et Kruger [HANR-93]). Il peut également être mesuré expérimentalement grâce à une intégration de la réflectance. Cependant, l'ajustement de ce paramètre reste assez difficile, de même que la mesure de l'indice de réfraction de la surface, ce qui rend l'utilisation de ce modèle un peu laborieuse.
Il n'en reste pas moins le meilleur modèle physique actuellement développé qui décrit de nombreuses surfaces et l'essentiel des phénomènes optiques présents dans la nature. Il faut notamment mettre à son compte l'utilisation d'un terme de réflexion cohérente qui explique par exemple le fait que l'on peut obtenir une réflexion presque parfaite (comme un miroir) avec des surfaces rugueuses.
III.9. Comparaison des modèles de réflectance
Face au foisonnement des modèles de réflectance, certains étant spécialement dédiés à un matériau en particulier, nous avons choisi de ne présenter que ceux qui font référence dans le domaine de la synthèse d'images. Les plus anciens (Lambert, Phong et Torrance et Sparrow) sont encore très couramment utilisés dans la pratique en raison de (et malgré) leur simplicité. Ils sont en effet très faciles à implémenter et procurent de bonnes performances en terme de rapidité de traitement, mais offrent des possibilités limitées et produisent des images souvent éloignées de la réalité (seulement les deux premiers modèles). Nous avons donc choisi de parler de modèles alternatifs, généralement inspirés des précédents, qui sont bien plus réalistes et restent pour autant simples à manipuler. Pour leur mise en oeuvre, on suivra avec intérêt les travaux de Schlick ([SCHL-94]) qui propose des approximations très rapides à calculer.
Voici un petit tableau récapitulatif qui classe les différents modèles étudiés en fonction de leur approche (qui est un indice de leur complexité), du phénomène physique pris en compte et du type de surface auquel ils s'intéressent. Ces trois critères déterminent en effet le cadre d'application de chacun d'eux.
Modèle de Approche Phénomène Surface empirique géométrique physique diffusion réflexion lisse rugueuse Lambert + + + Phong et Blinn + + + Torrance et Sparrow + + + Beckmann et Spizzichino + + + + Oren et Nayar + + + + Ward + + + + Ashikhmin + + + + He + + + + +
Pour la synthèse d'images, il est nécessaire de connaître les propriétés lumineuses des surfaces que l'on souhaite représenter. Toutes ces informations sont fournies par la fonction de réflectance spectrale bidirectionnelle. Depuis quelques années, deux approches différentes qui tendent à se rejoindre l'utilisent :
- La première est basée sur des modèles ("model-based rendering") :
On crée un objet à partir d'un modèle et de quelques paramètres (empiriques ou mesurés sur un échantillon de surface). Le rendu peut être photo-réaliste si l'on s'en donne les moyens, mais ce n'est pas une nécessité (films d'animation). Les objets ainsi créés sont insérés soit dans un monde généré de la même façon (animation, CAO, ...), soit dans un monde réel connu à partir d'images (architecture, trucages).
- La seconde est basée sur l'acquisition d'images ("image-based rendering") :
On représente un objet réel à partir d'une mesure extensive de tous ses paramètres (maillage 3D et connaissance explicite de la réflectance en tout point) ou d'un échantillonnage de ceux-ci (une ou plusieurs images). Cette méthode nécessite beaucoup plus de place mémoire mais permet toujours un rendu photo-réaliste. De tels objets sont par la suite introduits dans des mondes virtuels créés à partir de modèles (musée virtuel, commerce électronique) ou servent de fond pour l'insertion d'objets créés par ailleurs (Cf. le point précédent).
Nous allons nous intéresser dans cette partie aux deux méthodes actuellement utilisées pour acquérir la réflectance d'objets réels. La première consiste à mesurer directement la valeur de la réflectance à partir d'un échantillon de la surface réelle que l'on souhaite placer dans un environnement virtuel. Cette solution est très coûteuse, puisqu'elle requiert un échantillonnage complet de la fonction pour toutes les directions incidentes, toutes les directions d'observation et toutes les longueurs d'onde. Elle est souvent très difficile (voire impossible) à mettre en œuvre pour des objets complexes. Il est donc très intéressant d'utiliser un modèle de réflectance : il n'est alors nécessaire de mesurer que les quelques paramètres du modèle pour la surface à représenter. Si cette mesure est encore trop difficile, on peut se résoudre à choisir ces paramètres à la main en fonction des données.
IV.1. Mesure directe de la réflectance
La mesure de la réflectance se fait grâce à un appareil appelé gonioréflectomètre. Celui-ci va mesurer l'intensité de la lumière renvoyée par une surface pour un grand nombre de positions d'éclairage et d'observation. Il s'agit donc de réaliser un échantillonnage exhaustif des valeurs de la fonction de réflectance bidirectionnelle avec quatre degrés de liberté pour une surface anisotrope. On comprend donc que cette mesure prenne beaucoup de temps et impose une place mémoire conséquente. Qui plus est les appareils sont fragiles et doivent être précautionneusement calibrés. La mesure complète de la réflectance d'une surface anisotrope est donc très chère (quelques milliers de dollars américains en 1990), ce qui explique le foisonnement des modèles de réflectance développés dans les dernières décennies. Dans cette partie, nous allons présenter deux types de gonioréflectomètre : le gonioréflectomètre classique et le gonioréflectomètre de Ward, qui permet une économie substantielle en temps et en coût de mesure. Nous présenterons également quelques idées proposées pour compresser les données obtenues.
IV.1.1. Le gonioréflectomètre classique
Un gonioréflectomètre classique, comme celui construit par Murray-Coleman [MURR-90] que nous présentons ici, est constitué :
- d'un plateau tournant sur lequel va être fixée la surface à caractériser
- d'une source lumineuse possédant un ou deux degrés de liberté (ici : 1)
- d'un capteur unique possédant un ou deux degrés de liberté (ici : 2)
La valeur de l'intensité lumineuse reçue pour une position donnée de la source lumineuse, de la surface et du capteur donne directement une valeur de la réflectance de la surface.
Des mesures extensives (plus de 200 combinaisons de direction d'illumination et d'observation pour 60 surfaces) ont été réalisées avec ce type d'appareil par Dana et al. ([DANA-97]) afin de donner une base de valeurs pour pouvoir tester les différents modèles de réflectance bidirectionnelle, et notamment ceux d'Oren et Nayar et de Koenderinck et al. ([KOEN-96]). Ces mesures sont à la disposition du public à l'adresse suivante : http://www.cs.columbia.edu/CAVE/curet
IV.1.2. Le gonioréflectomètre de Ward
Dans ce gonioréflectomètre proposé par Ward ([WARD-92]), le capteur est remplacé par une caméra CCD avec une lentille en œil de poisson. Elle prend une image d'une demi-sphère semi-réfléchissante sur laquelle la lumière renvoyée par la surface étudiée vient se réfléchir. La surface et la caméra sont placées près du centre de la demi-sphère. La demi-sphère et la caméra sont fixes, mais permettent de récupérer simplement les deux angles de libertés de la réflectance relatifs à la position de l'observateur. En effet, il suffit de bien calibrer la caméra pour associer à chaque pixel une direction
Schémas de principe du gonioréflectomètre de Ward ([WARD-92])
Grâce à ce système, le temps de mesure de la réflectance bidirectionnelle est ramené à quelques minutes. Pour être sûr de bien avoir une valeur absolue indépendante de la lumière ambiante, le système est calibré à partir de deux images : une image du fond (la source lumineuse allumée, pas de surface) et une image standard d'une surface lambertienne parfaite. On a ainsi :
Les deux limites de ce gonioréflectomètre sont la collimation de la source lumineuse (et donc la précision de la mesure de l'angle d'incidence
IV.1.3. Techniques de compression
Plusieurs méthodes ont été proposées pour comprimer les données résultant d'une mesure directe (ou d'une simulation à partir d'un modèle géométrique microscopique de la surface) de la réflectance bidirectionnelle : les harmoniques sphériques ([CABR-87] et [WEST-92]), des longueurs apposées sur une sphère géodésique ([GOND-94]) ou encore des ondelettes sphériques ([SCHR-95]). Elles demandent encore à être améliorées, car elles présentent encore le double inconvénient de nécessiter de grandes capacités de stockage et de longs temps de calcul.
IV.2. Utilisation d'un modèle de réflectance
La mesure exhaustive de la réflectance bidirectionnelle de la surface d'objets réels s'avérant très coûteuse et complexe, on préfère souvent utiliser un modèle de réflectance. Celui-ci ne va en effet requérir la donnée que de quelques paramètres pour fonctionner. Dans le cas où l'on ne recherche pas un rendu précis d'un matériau donné, on peut se permettre de régler les paramètres à la main pour obtenir un résultat rapide et satisfaisant. Ceci sera généralement plus facile si le modèle considéré est empirique, car les paramètres impliqués ont une signification psycho-visuelle pratique. C'est habituellement la méthode retenue par le "model-based rendering".
Par contre, si l'on souhaite obtenir une rendu photo-réaliste d'objets existants, on va estimer les paramètres grâce à une mesure expérimentale, qui prendra le plus souvent la forme d'images de l'objet ("image-based rendering"). Le modèle le plus couramment utilisé est encore une fois celui de Lambert, en raison de son évidente simplicité. Celui-ci étant largement insuffisant pour l'étude de scènes réelles qui contiennent des reflets - l'immense majorité d'entre elles -, nous allons présenter ici deux algorithmes plus efficaces permettant une analyse complète de la scène et utilisant respectivement les modèles de Torrance et Sparrow (Sato et al.) et de Ward (Boivin et Gagalowicz).
Des méthodes semblables ont déjà été appliquées :
IV.2.1. Algorithme de Sato
Sato et al. ([SATO-97]) décrivent une méthode complète pour acquérir la géométrie et la réflectance d'un objet à partir d'images de distance et d'images de couleur. Nous ne nous intéresserons ici qu'à la détermination de la réflectance, qui a lieu après que le maillage 3D de l'objet ait été construit. Le système d'acquisition est constitué d'une caméra, d'une source lumineuse d'un support tournant pour l'objet. Il est calibré aussi bien en position qu'en luminance (la luminance de la source est fixée à 1 pour chacune des trois composantes R, V et B). Le modèle de réflectance bidirectionnelle retenu est un mélange de celui de Lambert (pour la diffusion) et de celui de Torrance et Sparrow (pour la réflexion) que l'on écrit sous la forme simplifiée :
où :
- m est une des trois composantes de couleur R, V ou B
- I est l'intensité des pixels de la surface de l'objet
- les coefficients K caractérisent respectivement la réflexion diffuse et spéculaire
- a est l'angle entre la normale à la surface (calculée grâce au maillage 3D) et la bissectrice entre les directions d'illumination et d'observation.
- s est la rugosité de la surface
Il faut donc estimer sept paramètres pour chaque point : 6 coefficients K (un pour la diffusion et la réflexion pour chacune des trois couleurs) et la rugosité s.
Grâce au calibrage des positions relatives de l'objet, de la source et de la caméra, il est possible d'associer les points des images couleur avec des positions sur le maillage 3D de l'objet (Cf. image ci-dessous). Comme de nombreuses prises de vues ont été effectuées (120 dans le cas de la tasse choisie par Sato), il existe plusieurs informations de couleur pour un même point, ce qui va nous aider à trouver les paramètres du modèle de réflectance bidirectionnelle.
Superposition de la texture sur le modèle 3D ([SATO-97])
La première opération effectuée est la séparation de l'intensité mesurée en composante diffuse et composante spéculaire. Ceci se fait grâce à la mesure de l'intensité pour un angle a le plus grand possible : pour une telle position, la réflexion spéculaire n'intervient pas. On obtient donc aisément la valeur des trois coefficients de diffusion pour les composantes rouges, vertes et bleues. Cette mesure est faite avec une résolution élevée, puisqu'elle rend compte de la texture de l'objet. L'évaluation des paramètres spéculaires est plus problématique, puisqu'elle nécessite pour chaque point une prise de vue dans laquelle la réflexion spéculaire est bien présente et avec son intensité maximale, c'est-à-dire pour un angle a nul. Cette configuration n'est malheureusement pas atteinte pour la majorité des points de la surface de l'objet. Il faut donc se résoudre à faire une interpolation des paramètres, à partir de leur mesure en des points les plus pertinents possibles. On sélectionne ceux-ci sur la base de trois critères :
- la fiabilité de la séparation des composantes diffuse et spéculaire. On en a une indication grâce à la différence de couleur entre ces deux composantes : la composante réfléchie à la couleur de la source (blanche), tandis que la composante diffuse à la couleur de l'objet. On va donc choisir des points de l'objet ayant une couleur très saturée. Remarque : ceci risque de poser des problèmes si on s'intéresse à des métaux, puisque la lumière réfléchie a alors tendance à prendre la couleur du métal.
- l'intensité de la composante spéculaire. Plus elle est grande et plus on a effectivement de chance d'être en un point où la réflexion spéculaire est totalement vue.
- l'intensité de la composante diffuse. Sato et al. ont en effet constaté expérimentalement que cette hypothèse améliorait leurs résultats.
On procède alors à une évaluation des paramètres du modèle de Torrance et Sparrow en des points qui correspondent le mieux à ces trois critères et on réalise une interpolation linéaire pour obtenir les valeurs aux autres points de la surface.
On peut alors synthétiser de nouvelles images de l'objet pour un éclairage et un angle de vue arbitraires. Quelques exemples réalisés par Sato et al sont présentés ci-dessous. On constate que la texture des images de synthèse est plus floue que la texture originale. Ceci est dû à un problème de calibrage mécanique du support tournant de l'objet lors de la prise de vues.
A gauche : image originale avec une seule source lumineuse, à droite : image de synthèse dans les mêmes conditions ([SATO-97])
Image de synthèse sous un angle de vue différent et avec deux sources lumineuses ([SATO-97])
La méthode décrite ici a été suivie par l'équipe de Standford dirigée par Levoy ([LEVO-00]) qui est allée en Italie scanner des sculptures de Michel-Ange (Cf. l'image de synthèse de David). Il est intéressant de remarquer que leur principal problème a également été le calibrage de leur système. Leur modèle géométrique n'était pas en cause, mais plutôt la reproductibilité de la procédure. Ils ont néanmoins réussi à s'affranchir des erreurs commises en recalant les différentes images entre elles.
Voici deux images de la tête de David. Celle de gauche est une image réelle, celle de droite une image de synthèse. Les différences observées sont essentiellement dues aux deux raisons suivantes : la photo originale a été prise sans calibrage, le point de vue et l'éclairage ont donc été reconstruits approximativement ; le modèle de réflectance choisi est lambertien, d'où l'absence de reflets.
Image réelle (à gauche) et de synthèse (à droite) de la tête de David ([LEVO-00])
IV.2.2. Algorithme de Boivin et Gagalowicz
Boivin et Gagalowicz ont développé dans [BOIV-01] une méthode ambitieuse pour acquérir la réflectance bidirectionnelle de la surface d'objets d'une scène à partir d'une seule image. En plus de cette image prise à partir d'une caméra et pour un éclairage bien calibrés afin de connaître leur position exacte dans la scène, ils ont besoin d'une description géométrique 3D de la scène considérée. Le modèle de réflectance choisi est celui de Ward. Rappelons qu'il dépend de cinq paramètres : la réflectance diffuse
Les surfaces ayant les mêmes propriétés (par exemple les faces d'un même objet) sont rassemblées en groupes sur lesquels les propriété de réflectance sont évaluées. La définition de groupes permet de calculer la réflectance bidirectionnelle de surfaces dont la projection dans l'image est trop petite pour fournir une bonne approximation ou qui ne sont même pas vues par la caméra. Cela affine et simplifie également l'évaluation de la réflectance. Cette évaluation est un processus itératif et hiérarchique : à chaque itération, on choisit pour chaque surface un modèle et on estime la valeur optimale de la réflectance bidirectionnelle. On crée alors une image à partir des valeurs adoptées pour la réflectance et dans les mêmes conditions d'éclairage et de prise de vue que l'image originale. Pour chaque groupe, la mesure de la différence entre ces deux images (on calcule en fait le rapport des luminances moyennes originale et synthétisée) est minimisée et permet de savoir si le modèle choisi est le bon : si la différence minimisée pour une surface dépasse un seuil fixé au préalable par l'utilisateur, on passe à un niveau hiérarchique supérieur, c'est-à-dire à un modèle de réflectance plus complexe. Les différents types de surface retenus par Boivin et Gagalowicz sont les suivants :
- surface lisse isotrope parfaitement diffusante non texturée. Le coefficient de diffusion
- surface lisse isotrope parfaitement réfléchissante. Dans ce cas, le seul paramètre est la réflectance spéculaire
- surface lisse isotrope réfléchissante non parfaite. Une partie de la lumière est absorbée par la surface et la réflectance spéculaire est inférieure à 1.
- surface lisse isotrope diffusante et réfléchissante, Deux paramètres entrent en jeu simultanément :
- surface isotrope rugueuse diffusante et réfléchissante. On introduit un nouveau paramètre : s. L'algorithme de minimisation ayant une forme différente si le coefficient de diffusion est nul ou non, les auteurs minimisent l'erreur en distinguant chacun de ces deux cas et choisissent celui qui donne les meilleurs résultats. Cette procédure est très longue (environ deux heures pour leur implémentation).
- surface anisotrope rugueuse diffusante et réfléchissante. Les deux derniers paramètres du modèle de Ward entrent dans la danse : la direction anisotrope et un deuxième paramètre de rugosité afin de différencier les deux directions de la surface. Ce cas est le plus complexe, mais il est possible de faire l'économie du calcul des deux coefficients
- surface texturée. Si le modèle de Ward n'est pas à même de décrire la surface étudiée, les auteurs considèrent alors qu'il s'agit d'une texture. Il prennent bien garde à normaliser les valeurs de la texture en fonction de l'éclairage reçu par la surface. Comme on ne dispose que d'une image, il est difficile de distinguer effectivement la texture des éventuels reflets ou ombres qui pourraient s'y trouver (bois vernis, marbre...). Ainsi, si un autre objet se reflète sur la surface considérée, son reflet sera mal placé si on change le point de vue, et sera toujours présent, même si l'objet est supprimé de la scène.
On remarquera que l'hypothèse d'une surface texturée apparaît au niveau le plus haut de la hiérarchie, ce qui signifie normalement que toutes les hypothèses précédentes ont été estimées auparavant. Pour éviter d'avoir à faire de nombreux et coûteux calculs inutiles, un seuil sur l'erreur est fixé à l'issue de la troisième étape pour attribuer directement à la surface une nature texturée.
Voici quelques résultats obtenus grâce à cette méthode qui montrent ses possibilités d'application en réalité augmentée :
Image originale (à gauche) et image de synthèse dans les mêmes conditions après estimation de la réflectance (à droite) ([BOIV-01]).
Image à laquelle on a supprimé quelques éléments (pieds du bureau, cube) à gauche et image selon un nouveau point de vue à droite ([BOIV-01]).
Images de synthèse dans de nouvelles conditions d'éclairage, avec ajout et suppression d'objets ([BOIV-01]).
Cette méthode n'utilise qu'une seule prise de vue et ne permet donc pas la reconstruction de la réflectance bidirectionnelle de toutes les surfaces qui la constituent et, par voie de conséquence, n'autorise pas le choix d'un nouveau point de vue aussi large que souhaité. Il est cependant intéressant de constater que la réflectance de certaines surfaces qui ne sont pas directement vues par la caméra est tout de même retrouvée grâce à la notion de groupe et à l'utilisation des miroirs de la scène. Qui plus est, ces informations lues dans le reflet des miroirs sont utilisées pour améliorer l'apparence des surfaces vues par la caméra. On remarquera cependant que la définition des groupes est à la charge de l'utilisateur et ne peut que difficilement être automatisée, de même que la construction complète du modèle géométrique.
L'ajout de quelques images supplémentaires avec d'autres angles de vue devrait donner des résultats encore meilleurs, aussi bien en ce qui concerne la diminution du nombre de surfaces cachées que la distinction de la texture par rapport à la réflectance (ce dernier point est la limitation essentielle de l'algorithme de Boivin et Gagalowicz), par exemple en adoptant la méthode de Yu et al. ([YU-99]). Cependant, une telle approche augmenterait notablement les temps de calcul qui sont déjà conséquents. On pourrait toutefois réduire cet inconvénient en évitant de modéliser toutes les surfaces de la scène, aussi bien de manière géométrique que lumineuse, en s'inspirant du travail effectué par Debevec ([DEBE-98]), qui décompose la scène en trois composantes : la scène distante, la scène locale et les objets de synthèse. Une carte de radiance suffit pour décrire les objets de la scène distante.
La réflectance spectrale bidirectionnelle d'une surface contient toutes ses caractéristiques concernant son comportement vis-à-vis de la lumière. Elle permet de représenter la surface selon un point de vue et dans des conditions d'éclairage totalement arbitraires en rendant compte des effets d'absorption, de diffusion et de réflexion. Nous avons vu que ces phénomènes très simples dans le cas d'une surface lisse parfaite se complexifient très rapidement avec la nature de la surface. Nous avons donc présenté deux modèles statistiques couramment utilisés pour décrire des surfaces réelles. Ceux-ci sont à la base de la construction de modèles de réflectance plus ou moins évolués, en fonction du nombre de phénomènes dont on veut tenir compte et de la complexité des calculs que l'on s'autorise à effectuer. Un compromis est en effet toujours nécessaire entre une connaissance optimale de la surface, une suffisante généralité du modèle et la difficulté à le mettre en œuvre.
La mesure exhaustive de la réflectance des surfaces d'objets réels s'avérant trop coûteuse, nous avons vu que l'utilisation des modèles établis auparavant constituait une aide précieuse pour le rendu graphique de ces objets. En particulier, grâce aux systèmes d'acquisition toujours plus performants (laser et CCD), les techniques récentes basées sur la prise de quelques vues de l'objet à reproduire fournissent d'excellents résultats. Si elles requièrent encore d'importantes capacités de stockage et de calculs, des progrès continus sont réalisés pour les réduire.
On observe également l'émergence de nouveaux critères psycho-visuels, qui permettent une meilleure mise en relation des paramètres des modèles de réflectance empiriques et théoriques avec les effets observés par l'œil humain. Ceux-ci devraient à terme permettre de régler ces paramètres de manière plus intuitive et comparable selon des standards semblables à ceux que l'on trouve déjà en colorimétrie, de créer de nouveaux modèles plus simples et d'obtenir une compression pertinente des données ([PELL-00] et [WESL-01]).
[ASHI-00] M. Ashikhmin, S. Premoze, P. Shirley. A microfacet-based BRDF generator. In SIGGRAPH '00 (2000)
[BECK-63] P. Beckmann, A. Spizzichino. The scattering of electromagnetic waves from rough surfaces, MacMillan, New York (1963), pp.1-33, 70-98
[BLIN-77] J. Blinn. Models for light reflection for computer synthesized pictures. In Computer graphics, vol. 11, n° 2 (1977), pp. 192-198 ou In SIGGRAPH '77 (1977), pp. 542-547
[BOIV-01] S. Boivin, A. Gagalowicz. Image-based rendering for diffuse, specular and glossy surfaces from a single image. In SIGGRAPH '01 (2001) (à paraître)
[CABR-87] B. Cabral, N. Max, R. Springmeyer. Bidirectionnal reflection functions from surface bump maps. In SIGGRAPH '87 (1987), pp. 273-281
[COOK-82] R. L. Cook, K. E. Torrance. A reflectance model for computer graphics. In ACM Tran. on Graphics, vol. 1, n° 1, pp. 7-24 (1982)
[DANA-97] K. J. Dana, B. Ginneken, S. K. Nayar, J. J. Koenderink. Reflectance and texture of real-world surfaces. In Proc. IEEE Conf. on Comp. Vision and Patt. Recog. (1997), pp. 151-157
[DEBE-98] P. Debevec. Rendering synthetic objects into real scenes: Bridging traditional and image-based graphics with global illumination and high dynamic range photography. In SIGGRAPH '98 (1998)
[DEBE-00] P. Debevec, T. Hawkins, C. Tchou, H.-P. Duiker, W. Sarokin, M. Sagar. Acquiring the reflectance field of a human face. In SIGGRAPH '00 (2000)
[GOND-94] J. S. Gondek, G. W. Meyer, J. G. Newman. Wavelength dependent reflectance functions. In SIGGRAPH '94 (1994), pp. 213-220
[HANR-93] P. Hanrahan, W. Krueger. Reflection from layered surfaces due to subsurface scattering. In SIGGRAPH '93 (1993), pp. 165-174
[HE-91] X. D. He, K. E. Torrance, F. X. Sillion, D. P. Greenberg. A comprehensive physical model for light reflection. In SIGGRAPH '91 (1991), pp. 175-186
[KOEN-96] J. J. Koenderink, A. J. Van Doorn, M. Stavridi. Bidirectionnal reflection distribution function expressed in terms of surface scattering modes. In European Conference on Computer Vision, pp.28-39 (1996)
[LAMB-1760] J. H. Lambert. Photometria sive de mensure de gratibus luminis, colorum umbrae. Eberhard Klett, 1760
[LEVO-00] M. Levoy, S. Rusinkiewicz, M. Ginzton, ... The digital Michelangelo project: 3D scanning of large statues. In SIGGRAPH '00 (2000)
[MARS-87] D. Marsh. An efficient ray-tracing renderer. In Technical Report 87/360, University California San Diego (1987)
[MURR-90] J. F. Murray-Coleman, A. M. Smith. The automated measurement of BRDFs and their application to luminaire modeling. In Journal of the Illuminating Engineering Society (1990)
[NAYA-91] S. K. Nayar, K. Ikeuchi, T. Kanade. Surface reflection: physical and geometrical perspectives. In IEEE PAMI, vol. 13, n° 7 (1991), pp. 611-634
[NICO-77] F. E. Nicodemus, J. C. Richmond, J. J. Hsia, I. W. Ginsberg, T. Limperis. Geometrical considerations and nomenclature for reflectance. In NBS Monogram 160, US Department of Commerce, National Bureau of Standards, 1977
[OREN-94] M. Oren, S. K. Nayar. Generalization of Lambert's reflectance model. In SIGGRAPH '94 (1994), pp. 239-246
[PELL-00] F. Pellacini, J. A. Ferwerda, D. P. Greenberg. Toward a pshychophysically-based light reflection model for image synthesis. In SIGGRAPH '00 (2000)
[PHON-75] B. T. Phong. Illumination for computer generated pictures. In Communications of the ACM, vol. 18, n° 6, pp. 311-317 (1975)
[POUL-90] P. Poulin, A. Fournier. A model for anisotropic reflection. In SIGGRAPH '90 (1990), pp. 273-282
[SATO-97] Y. Sato, M. D. Wheeler, K. Ikeuchi. Object shape and reflectance modeling from observation. In SIGGRAPH '97 (1997), pp. 379-387
[SCHL-94] C. Schlick. A survey of shading and reflectance models. In Computer Graphics Forum, vol. 13, n° 2, pp. 121-132 (1994)
[SCHR-95] P. Schröder, W. Sweldens. Spherical wavelets: Efficiently representing functions on the sphere. In SIGGRAPH '95 (1995)
[SILL-91] F. X. Sillion, J. R. Arvo, S. H. Westin, D. P. Greenberg. A global illumination solution for general reflectance distributions. In Computer graphics, vol. 25, n° 4 (1991)
[SMIT-67] B. G. Smith. Geometrical shadowing of a random rough surface. In IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 15, pp. 668-671 (1967)
[SOUA-93] F. Souami. Traitement de la réflectance des objets dans un système d'acquisition 3D, thèse à l'ENST (1993)
[STOG-67] A. Stogryn. Electromagnetic scattering from rough, finitely conducting surfaces. In Radio Science, vol. 2, n° 4, pp. 415-428 (1967)
[TORR-67] K. E. Torrance, E. M. Sparrow. Theory for off-specular reflection from roughened surfaces. In Journal of Optical Society of America, vol. 57, n° 9, pp.1105-1114 (1967)
[TROW-75] T.S. Trowbridge and K.P. Reitz. Average irregularity representation of a roughened surface for ray reflection. In Journal of the Optical Society of America, vol. 65, pp. 531-536 (1975)
[WARD-92] G. J. Ward. Measuring and modeling anisotropic reflection. In SIGGRAPH '92 (1992), pp. 265-272
[WESL-01] H. B. Weslund, G. W. Meyer. Applying appearance standards to light reflection models. In SIGGRAPH '01 (2001) (à paraître)
[WEST-92] S. H. Westin, J. R. Arvo, K. E. Torrance. Predicting reflectance functions from complex surfaces. In SIGGRAPH '92 (1992), pp. 255-264
[YU-98] Y. Yu, J. Malik. Recovering photometric properties of architectural scenes from photographs. In SIGGRAPH '98 (1998)
[YU-99] Y. Yu, P. Debevec, J. Malik, T. Hawkins. Inverse global illumination: recovering reflectance models of real scenes from phorographs. In SIGGRAPH '99 (1999), pp. 215-224
© Vincent Domurado - domurado at wanadoo.fr - juin 2001
